Решите неравенство $$(x - 7)^2 < \sqrt{11(x - 7)}$$.

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Сначала давай сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $$y = x - 7$$. Тогда неравенство примет вид: $$y^2 < \sqrt{11y}$$ Теперь возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Важно помнить, что возведение в квадрат может ввести посторонние решения, поэтому нужно проверить их в конце. $$(y^2)^2 < (\sqrt{11y})^2$$ $$y^4 < 11y$$ Теперь перенесем все в одну сторону: $$y^4 - 11y < 0$$ Вынесем $$y$$ за скобки: $$y(y^3 - 11) < 0$$ Теперь найдем корни уравнения $$y(y^3 - 11) = 0$$. Первый корень: $$y = 0$$ Второй корень: $$y^3 - 11 = 0$$, значит, $$y^3 = 11$$, и $$y = \sqrt[3]{11}$$ Итак, у нас есть два корня: $$y = 0$$ и $$y = \sqrt[3]{11}$$. Теперь рассмотрим знак выражения $$y(y^3 - 11)$$ на разных интервалах. 1. $$y < 0$$: Например, $$y = -1$$. Тогда $$(-1)((-1)^3 - 11) = (-1)(-1 - 11) = (-1)(-12) = 12 > 0$$. Значит, на этом интервале выражение положительно. 2. $$0 < y < \sqrt[3]{11}$$: Например, $$y = 2$$. Тогда $$2(2^3 - 11) = 2(8 - 11) = 2(-3) = -6 < 0$$. Значит, на этом интервале выражение отрицательно. 3. $$y > \sqrt[3]{11}$$: Например, $$y = 3$$. Тогда $$3(3^3 - 11) = 3(27 - 11) = 3(16) = 48 > 0$$. Значит, на этом интервале выражение положительно. Нам нужно найти, где $$y(y^3 - 11) < 0$$, то есть где выражение отрицательно. Это происходит на интервале $$0 < y < \sqrt[3]{11}$$. Теперь вернемся к переменной $$x$$, учитывая, что $$y = x - 7$$: $$0 < x - 7 < \sqrt[3]{11}$$ Прибавим 7 ко всем частям неравенства: $$7 < x < 7 + \sqrt[3]{11}$$ Теперь проверим, что подкоренное выражение в исходном неравенстве неотрицательно, то есть $$x - 7 \ge 0$$, значит $$x \ge 7$$. Это условие уже учтено в нашем решении. Итак, решением неравенства является интервал $$(7; 7 + \sqrt[3]{11})$$. Ответ: $$x \in (7; 7 + \sqrt[3]{11})$$