Решите неравенство (x-11)² < √5(x – 11).

Решение:

1. Перенесём всё в одну часть: \( (x-11)^2 - \sqrt{5}(x-11) < 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( (x-11) \) за скобки: \( (x-11)((x-11) - \sqrt{5}) < 0 \).
3. Получаем произведение двух множителей, которое меньше нуля. Это возможно, когда множители имеют разные знаки.
4. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( x-11 > 0 \) и \( (x-11) - \sqrt{5} < 0 \).
• \( x > 11 \)
• \( x - 11 < \sqrt{5} \implies x < 11 + \sqrt{5} \)
• Объединяя, получаем: \( 11 < x < 11 + \sqrt{5} \).
5. Случай 2: \( x-11 < 0 \) и \( (x-11) - \sqrt{5} > 0 \).
• \( x < 11 \)
• \( x - 11 > \sqrt{5} \implies x > 11 + \sqrt{5} \)
• Нет решений, так как \( 11 + \sqrt{5} > 11 \).
6. Объединяя решения обоих случаев, получаем интервал \( (11; 11 + \sqrt{5}) \).

Ответ: \( (11; 11 + \sqrt{5}) \)