Решите неравенство x² – 64 ≤ 0. 13. Тип 13 № 350371

Решение:

Неравенство \( x^2 - 64 \le 0 \) можно решить несколькими способами.

Способ 1: Через корни.

1. Найдём корни уравнения \( x^2 - 64 = 0 \).
2. \( x^2 = 64 \)
3. \( x = \pm \sqrt{64} \)
4. \( x = \pm 8 \).
5. Получили точки \( x = -8 \) и \( x = 8 \). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -8) \), \( (-8; 8) \), \( (8; +\infty) \).
6. Проверим знак выражения \( x^2 - 64 \) в каждом интервале:
   • При \( x = -10 \) (интервал \( (-\infty; -8) \)): \( (-10)^2 - 64 = 100 - 64 = 36 > 0 \).
   • При \( x = 0 \) (интервал \( (-8; 8) \)): \( 0^2 - 64 = -64 < 0 \).
   • При \( x = 10 \) (интервал \( (8; +\infty) \)): \( 10^2 - 64 = 100 - 64 = 36 > 0 \).
7. Нам нужно \( x^2 - 64 \le 0 \), то есть интервал, где выражение отрицательное. Это интервал \( (-8; 8) \).
8. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), включаем границы.

Способ 2: Разложение на множители.

Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

\( x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \)

Неравенство принимает вид: \( (x - 8)(x + 8) \le 0 \).

Это неравенство выполняется, когда множители имеют разные знаки или один из них равен нулю.

Случай 1: \( x - 8 \ge 0 \) и \( x + 8 \le 0 \). Отсюда \( x \ge 8 \) и \( x \le -8 \). Нет решений.

Случай 2: \( x - 8 \le 0 \) и \( x + 8 \ge 0 \). Отсюда \( x \le 8 \) и \( x \ge -8 \). Это означает, что \( -8 \le x \le 8 \).

Объединяя результаты, получаем \( [-8; 8] \).

Ответ: 2) [-8; 8].