Решите неравенство √x² - 8x + 17 + |x - 3| ≤ 3

Решение:

Дано неравенство: \( \sqrt{x^2 - 8x + 17} + |x - 3| \leq 3 \)

1. Преобразуем подкоренное выражение:

\[ x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x - 4)^2 + 1 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \sqrt{(x - 4)^2 + 1} + |x - 3| \leq 3 \]

2. Раскроем модуль |x - 3|:

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x - 3 \geq 0 \), то есть \( x \geq 3 \).

В этом случае \( |x - 3| = x - 3 \).

Неравенство: \( \sqrt{(x - 4)^2 + 1} + x - 3 \leq 3 \)

\[ \sqrt{(x - 4)^2 + 1} \leq 6 - x \]

Для того чтобы корень был меньше или равен выражению, это выражение должно быть неотрицательным: \( 6 - x \geq 0 \), то есть \( x \leq 6 \).

Возведём обе части неравенства в квадрат (при условии \( 3 \leq x \leq 6 \)):

\[ (x - 4)^2 + 1 \leq (6 - x)^2 \]

\[ x^2 - 8x + 16 + 1 \leq 36 - 12x + x^2 \]

\[ x^2 - 8x + 17 \leq 36 - 12x + x^2 \]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -8x + 17 \leq 36 - 12x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ 12x - 8x \leq 36 - 17 \]

\[ 4x \leq 19 \]

\[ x \leq \frac{19}{4} \]

\[ x \leq 4.75 \]

Учитывая условие \( 3 \leq x \leq 6 \), получаем решение для этого случая: \( 3 \leq x \leq 4.75 \).

Случай 2: \( x - 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \).

В этом случае \( |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x \).

Неравенство: \( \sqrt{(x - 4)^2 + 1} + 3 - x \leq 3 \)

\[ \sqrt{(x - 4)^2 + 1} \leq x \]

Для того чтобы корень был меньше или равен выражению, это выражение должно быть неотрицательным: \( x \geq 0 \).

Возведём обе части неравенства в квадрат (при условии \( 0 \leq x < 3 \)):

\[ (x - 4)^2 + 1 \leq x^2 \]

\[ x^2 - 8x + 16 + 1 \leq x^2 \]

\[ x^2 - 8x + 17 \leq x^2 \]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -8x + 17 \leq 0 \]

\[ 17 \leq 8x \]

\[ x \geq \frac{17}{8} \]

\[ x \geq 2.125 \]

Учитывая условие \( 0 \leq x < 3 \), получаем решение для этого случая: \( 2.125 \leq x < 3 \).

3. Объединяем решения из обоих случаев:

Решение из Случая 1: \( [3, 4.75] \)

Решение из Случая 2: \( [2.125, 3) \)

Объединение этих интервалов:

\[ [2.125, 3) \cup [3, 4.75] = [2.125, 4.75] \]

Проверка:

Возьмём точку \( x = 2.125 \) ( \( x = 17/8 \) ):

\[ \sqrt{(17/8 - 4)^2 + 1} + |17/8 - 3| = \sqrt{(-15/8)^2 + 1} + |-7/8| = \sqrt{225/64 + 1} + 7/8 = \sqrt{289/64} + 7/8 = 17/8 + 7/8 = 24/8 = 3 \]

Значит, \( x = 2.125 \) является решением.

Возьмём точку \( x = 4.75 \) ( \( x = 19/4 \) ):

\[ \sqrt{(19/4 - 4)^2 + 1} + |19/4 - 3| = \sqrt{(3/4)^2 + 1} + |7/4| = \sqrt{9/16 + 1} + 7/4 = \sqrt{25/16} + 7/4 = 5/4 + 7/4 = 12/4 = 3 \]

Значит, \( x = 4.75 \) также является решением.

Ответ: \( \left[ \frac{17}{8}; \frac{19}{4} \right] \).