В классе 25 человек, среди них Варя и Катя. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, если Варю и Катю вместе ставить дежурить нельзя?

Решение:

Общее количество учеников в классе: 25 человек.

Нужно выбрать 3 дежурных.

Рассмотрим два случая:

1. Варя дежурит, Катя — нет.
• Если выбрана Варя, остаётся выбрать ещё 2 дежурных из оставшихся 23 учеников (25 - 1 Варя - 1 Катя).
• Количество способов выбрать 2 учеников из 23: \( C_{23}^2 = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23!}{2!21!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253 \) способа.
2. Катя дежурит, Варя — нет.
• Если выбрана Катя, остаётся выбрать ещё 2 дежурных из оставшихся 23 учеников.
• Количество способов выбрать 2 учеников из 23: \( C_{23}^2 = 253 \) способа.
3. Ни Варя, ни Катя не дежурят.
• В этом случае нужно выбрать 3 дежурных из оставшихся 23 учеников (25 - 1 Варя - 1 Катя).
• Количество способов выбрать 3 учеников из 23: \( C_{23}^3 = \frac{23!}{3!(23-3)!} = \frac{23!}{3!20!} = \frac{23 \times 22 \times 21}{3 \times 2 \times 1} = 23 \times 11 \times 7 = 1771 \) способ.

Общее количество способов равно сумме способов из всех трёх случаев:

\[ 253 + 253 + 1771 = 506 + 1771 = 2277 \]

Альтернативный способ решения:

1. Общее количество способов выбрать 3 дежурных из 25 учеников без ограничений:
• \( C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 100 \times 23 = 2300 \) способов.
2. Количество способов, когда Варя и Катя дежурят вместе:
• Если Варя и Катя выбраны, нужно выбрать ещё 1 дежурного из оставшихся 23 учеников.
• \( C_{23}^1 = 23 \) способа.
3. Количество способов, когда Варя и Катя не дежурят вместе, равно общему количеству минус количество, когда они дежурят вместе:
• \( 2300 - 23 = 2277 \) способов.

Ответ: 2277 способов.