Решение неравенств методом интервалов

a) (x - 7)(x - 4) > 0

1. Находим нули функции:
• x - 7 = 0 => x = 7
• x - 4 = 0 => x = 4
2. Отмечаем нули на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое (>), точки будут выколотыми.
3. Определяем знаки на каждом интервале:
• x < 4: (-)(-)=+
• 4 < x < 7: (+)(-)=-
• x > 7: (+)(+)=+
4. Выбираем интервалы, где функция положительна (> 0):

Ответ: $$x \in (-\infty; 4) \cup (7; +\infty)$$

б) (x + 4)(x - 2) < 0

1. Находим нули функции:
• x + 4 = 0 => x = -4
• x - 2 = 0 => x = 2
2. Отмечаем нули на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое (<), точки будут выколотыми.
3. Определяем знаки на каждом интервале:
• x < -4: (-)(-) = +
• -4 < x < 2: (+)(-) = -
• x > 2: (+)(+) = +
4. Выбираем интервалы, где функция отрицательна (< 0):

Ответ: $$x \in (-4; 2)$$

в) (x + 2)(x + 9)(x - 1) > 0

1. Находим нули функции:
• x + 2 = 0 => x = -2
• x + 9 = 0 => x = -9
• x - 1 = 0 => x = 1
2. Отмечаем нули на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое (>), точки будут выколотыми.
3. Определяем знаки на каждом интервале:
• x < -9: (-)(-)(-) = -
• -9 < x < -2: (+)(-)(-) = +
• -2 < x < 1: (+)(+)(-) = -
• x > 1: (+)(+)(+) = +
4. Выбираем интервалы, где функция положительна (> 0):

Ответ: $$x \in (-9; -2) \cup (1; +\infty)$$

г) x(x + 4)(x - 15) ≤ 0

1. Находим нули функции:
• x = 0
• x + 4 = 0 => x = -4
• x - 15 = 0 => x = 15
2. Отмечаем нули на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое (≤), точки будут закрашенными.
3. Определяем знаки на каждом интервале:
• x < -4: (-)(-)(-) = -
• -4 < x < 0: (-)(+)(-) = +
• 0 < x < 15: (+)(+)(-) = -
• x > 15: (+)(+)(+) = +
4. Выбираем интервалы, где функция отрицательна (≤ 0):

Ответ: $$x \in (-\infty; -4] \cup [0; 15]$$