4. Решите неравенство: a) 6x+9/x-8 <0; б) 2x-4/x+6 ≤4.

Решение:

а) Решим неравенство $$\frac{6x + 9}{x - 8} < 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

$$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$$

Расставим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
<----(-1.5)----(8)---->

Неравенство выполняется на интервале, где знак минус.

Решение неравенства: $$-1.5 < x < 8$$.

б) Решим неравенство $$\frac{2x - 4}{x + 6} \le 4$$.

$$\frac{2x - 4}{x + 6} - 4 \le 0$$

$$\frac{2x - 4 - 4(x + 6)}{x + 6} \le 0$$

$$\frac{2x - 4 - 4x - 24}{x + 6} \le 0$$

$$\frac{-2x - 28}{x + 6} \le 0$$

$$\frac{2x + 28}{x + 6} \ge 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$2x + 28 = 0 \Rightarrow x = -14$$

$$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$$

Расставим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
<----(-14)----(-6)---->

Неравенство выполняется на интервалах, где знак плюс, а также в точке x = -14.

Решение неравенства: $$x \le -14$$ или $$x > -6$$.

Ответ: а) $$-1.5 < x < 8$$. б) $$x \le -14$$ или $$x > -6$$.