Решите неравенство $$\frac{12}{x^2-7x-8} \le 0$$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим это неравенство вместе. 1. **Находим область определения неравенства.** Знаменатель не может быть равен нулю: $$x^2 - 7x - 8
e 0$$. Решим квадратное уравнение $$x^2 - 7x - 8 = 0$$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$. $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$$. $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$. Таким образом, область определения: $$x
e 8$$ и $$x
e -1$$. 2. **Анализируем неравенство.** $$\frac{12}{x^2-7x-8} \le 0$$. Числитель положителен (12 > 0), поэтому для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $$x^2 - 7x - 8 < 0$$. 3. **Решаем неравенство $$x^2 - 7x - 8 < 0$$.** Как мы уже выяснили, корни квадратного трехчлена $$x^2 - 7x - 8$$ равны 8 и -1. Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен (равен 1), парабола $$y = x^2 - 7x - 8$$ направлена ветвями вверх. Значит, $$x^2 - 7x - 8 < 0$$ между корнями. Таким образом, $$-1 < x < 8$$. 4. **Учитываем область определения.** Поскольку $$x
e 8$$ и $$x
e -1$$, окончательным решением будет интервал $$(-1; 8)$$. **Ответ:** $$x \in (-1; 8)$$.