Решите представленные квадратные уравнения. Предоставьте пошаговое решение для каждого уравнения.

Давайте решим каждое квадратное уравнение по шагам:

Первое уравнение: $$x^2 + 11 = 12x$$

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$:

   $$x^2 - 12x + 11 = 0$$

2. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае: $$a = 1, b = -12, c = 11$$

   Вычисляем дискриминант:

   $$D = (-12)^2 - 4 * 1 * 11 = 144 - 44 = 100$$

3. Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных вещественных корня. Вычисляем корни по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

   $$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: Корни первого уравнения: $$x_1 = 11, x_2 = 1$$

Второе уравнение: $$x^2 - 5x = 24$$

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$:

   $$x^2 - 5x - 24 = 0$$

2. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае: $$a = 1, b = -5, c = -24$$

   Вычисляем дискриминант:

   $$D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121$$

3. Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных вещественных корня. Вычисляем корни по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Ответ: Корни второго уравнения: $$x_1 = 8, x_2 = -3$$