Решите пример: $$(\frac{3a}{a-4} + \frac{10a}{a^2-8a+16}) : (\frac{3a-2}{a^2-16} - \frac{4(a+4)}{a-4})$$

Решим пример по действиям:

1. Упростим первое выражение в скобках:

$$\frac{3a}{a-4} + \frac{10a}{a^2-8a+16} = \frac{3a}{a-4} + \frac{10a}{(a-4)^2} = \frac{3a(a-4) + 10a}{(a-4)^2} = \frac{3a^2 - 12a + 10a}{(a-4)^2} = \frac{3a^2 - 2a}{(a-4)^2} = \frac{a(3a - 2)}{(a-4)^2}$$

2. Упростим второе выражение в скобках:

$$\frac{3a-2}{a^2-16} - \frac{4(a+4)}{a-4} = \frac{3a-2}{(a-4)(a+4)} - \frac{4(a+4)}{a-4} = \frac{3a-2 - 4(a+4)(a+4)}{(a-4)(a+4)} = \frac{3a - 2 - 4(a^2 + 8a + 16)}{(a-4)(a+4)} = \frac{3a - 2 - 4a^2 - 32a - 64}{(a-4)(a+4)} = \frac{-4a^2 - 29a - 66}{(a-4)(a+4)}$$

3. Выполним деление:

$$\frac{a(3a - 2)}{(a-4)^2} : \frac{-4a^2 - 29a - 66}{(a-4)(a+4)} = \frac{a(3a - 2)}{(a-4)^2} * \frac{(a-4)(a+4)}{-4a^2 - 29a - 66} = \frac{a(3a - 2)(a-4)(a+4)}{(a-4)^2(-4a^2 - 29a - 66)} = \frac{a(3a - 2)(a+4)}{(a-4)(-4a^2 - 29a - 66)}$$

4. Разложим квадратный трехчлен -4a^2 - 29a - 66 на множители. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение -4a^2 - 29a - 66 = 0. Умножим обе части уравнения на -1, получим 4a^2 + 29a + 66 = 0.

Вычислим дискриминант:

$$D = 29^2 - 4 * 4 * 66 = 841 - 1056 = -215$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, следовательно, его нельзя разложить на множители с вещественными коэффициентами.

Тогда получаем следующий ответ:

$$\frac{a(3a - 2)(a+4)}{(a-4)(-4a^2 - 29a - 66)}$$