Решите примеры на сложение и вычитание дробей и смешанных чисел: 1. $$\frac{1}{3} + \frac{3}{5}$$ 2. $$1\frac{3}{10} + 2\frac{5}{6}$$ 3. $$2\frac{1}{7} - \frac{1}{9}$$ 4. $$8\frac{7}{9} - 3\frac{1}{5}$$ 5. $$2 \cdot \frac{10}{13}$$ 6. $$3\frac{1}{5} \cdot 3\frac{3}{5}$$

Решим каждый пример пошагово:

1. $$\frac{1}{3} + \frac{3}{5}$$

   Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель для 3 и 5 это 15.

   $$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$$

   $$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$$

   Теперь сложим дроби:

   $$\frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{5+9}{15} = \frac{14}{15}$$

   Ответ: $$\frac{14}{15}$$

2. $$1\frac{3}{10} + 2\frac{5}{6}$$

   Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

   $$1\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{13}{10}$$

   $$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$

   Теперь сложим дроби. Общий знаменатель для 10 и 6 это 30.

   $$\frac{13}{10} = \frac{13 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{39}{30}$$

   $$\frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{85}{30}$$

   Сложим дроби:

   $$\frac{39}{30} + \frac{85}{30} = \frac{39+85}{30} = \frac{124}{30}$$

   Сократим дробь: $$\frac{124}{30} = \frac{62}{15}$$

   Теперь переведем неправильную дробь в смешанное число:

   $$\frac{62}{15} = 4\frac{2}{15}$$

   Ответ: $$4\frac{2}{15}$$

3. $$2\frac{1}{7} - \frac{1}{9}$$

   Переведем смешанное число в неправильную дробь:

   $$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$$

   Теперь вычтем дроби. Общий знаменатель для 7 и 9 это 63.

   $$\frac{15}{7} = \frac{15 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{135}{63}$$

   $$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{7}{63}$$

   Вычтем дроби:

   $$\frac{135}{63} - \frac{7}{63} = \frac{135-7}{63} = \frac{128}{63}$$

   Переведем неправильную дробь в смешанное число:

   $$\frac{128}{63} = 2\frac{2}{63}$$

   Ответ: $$2\frac{2}{63}$$

4. $$8\frac{7}{9} - 3\frac{1}{5}$$

   Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

   $$8\frac{7}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{79}{9}$$

   $$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$$

   Теперь вычтем дроби. Общий знаменатель для 9 и 5 это 45.

   $$\frac{79}{9} = \frac{79 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{395}{45}$$

   $$\frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{144}{45}$$

   Вычтем дроби:

   $$\frac{395}{45} - \frac{144}{45} = \frac{395-144}{45} = \frac{251}{45}$$

   Переведем неправильную дробь в смешанное число:

   $$\frac{251}{45} = 5\frac{26}{45}$$

   Ответ: $$5\frac{26}{45}$$

5. $$2 \cdot \frac{10}{13}$$

   Умножим число на дробь:

   $$2 \cdot \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 10}{13} = \frac{20}{13}$$

   Переведем неправильную дробь в смешанное число:

   $$\frac{20}{13} = 1\frac{7}{13}$$

   Ответ: $$1\frac{7}{13}$$

6. $$3\frac{1}{5} \cdot 3\frac{3}{5}$$

   Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

   $$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$$

   $$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$$

   Умножим дроби:

   $$\frac{16}{5} \cdot \frac{18}{5} = \frac{16 \cdot 18}{5 \cdot 5} = \frac{288}{25}$$

   Переведем неправильную дробь в смешанное число:

   $$\frac{288}{25} = 11\frac{13}{25}$$

   Ответ: $$11\frac{13}{25}$$