613. Решите прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе и острому углу: с = 28 см, α = 48°; 2) по катету и острому углу: а = 56 см, β = 74°; 3) по катету и гипотенузе: а = 5 см, с = 9 см; 4) по двум катетам: а = 3 см, b = 7 см.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами решим четыре задачи на нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника. **1) Дано: гипотенуза $$c = 28$$ см, угол $$\alpha = 48^\circ$$.** Наша задача найти катет $$a$$, катет $$b$$ и угол $$\beta$$. * Найдем катет $$a$$ (противолежащий углу $$\alpha$$): $$a = c \cdot \sin(\alpha) = 28 \cdot \sin(48^\circ) \approx 28 \cdot 0.743 \approx 20.8$$ см * Найдем катет $$b$$ (прилежащий к углу $$\alpha$$): $$b = c \cdot \cos(\alpha) = 28 \cdot \cos(48^\circ) \approx 28 \cdot 0.669 \approx 18.7$$ см * Найдем угол $$\beta$$: $$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$$ **Ответ:** $$a \approx 20.8$$ см, $$b \approx 18.7$$ см, $$\beta = 42^\circ$$. **2) Дано: катет $$a = 56$$ см, угол $$\beta = 74^\circ$$.** Наша задача найти катет $$b$$, гипотенузу $$c$$ и угол $$\alpha$$. * Найдем угол $$\alpha$$: $$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ$$ * Найдем катет $$b$$ (противолежащий углу $$\beta$$): $$b = a \cdot \tan(\beta) = 56 \cdot \tan(74^\circ) \approx 56 \cdot 3.487 \approx 195.3$$ см * Найдем гипотенузу $$c$$: $$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{56}{\cos(74^\circ)} \approx \frac{56}{0.276} \approx 202.9$$ см **Ответ:** $$b \approx 195.3$$ см, $$c \approx 202.9$$ см, $$\alpha = 16^\circ$$. **3) Дано: катет $$a = 5$$ см, гипотенуза $$c = 9$$ см.** Наша задача найти катет $$b$$, угол $$\alpha$$ и угол $$\beta$$. * Найдем катет $$b$$ по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} \approx 7.5$$ см * Найдем угол $$\alpha$$: $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{9} \approx 0.556$$ $$\alpha = \arcsin(0.556) \approx 33.8^\circ$$ * Найдем угол $$\beta$$: $$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 33.8^\circ \approx 56.2^\circ$$ **Ответ:** $$b \approx 7.5$$ см, $$\alpha \approx 33.8^\circ$$, $$\beta \approx 56.2^\circ$$. **4) Дано: два катета $$a = 3$$ см, $$b = 7$$ см.** Наша задача найти гипотенузу $$c$$, угол $$\alpha$$ и угол $$\beta$$. * Найдем гипотенузу $$c$$ по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.6$$ см * Найдем угол $$\alpha$$: $$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3}{7} \approx 0.429$$ $$\alpha = \arctan(0.429) \approx 23.2^\circ$$ * Найдем угол $$\beta$$: $$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 23.2^\circ \approx 66.8^\circ$$ **Ответ:** $$c \approx 7.6$$ см, $$\alpha \approx 23.2^\circ$$, $$\beta \approx 66.8^\circ$$. Надеюсь, все понятно! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать.