4. Решите систему квадратных неравенств { x²+x-30 ≤ 0, x²-x-20 ≥ 0.

Ответ: x ∈ [-6; -4] ∪ [5; 6]

Решим первое неравенство: \[x^2 + x - 30 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \[x^2 + x - 30 = 0\]

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121\]

\[x_1 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = -6\]

\[x_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5\]

Так как коэффициент при \[x^2\] положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется между корнями:

\[-6 \le x \le 5\]

Решим второе неравенство: \[x^2 - x - 20 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \[x^2 - x - 20 = 0\]

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\]

\[x_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4\]

\[x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\]

Так как коэффициент при \[x^2\] положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется вне корней:

\[x \le -4\] или \[x \ge 5\]

Найдем пересечение решений:

\[\begin{cases} -6 \le x \le 5 \\ x \le -4 \text{ или } x \ge 5 \end{cases}\]

Получаем: \[-6 \le x \le -4\] или \[x = 5\]

Ответ: x ∈ [-6; -4] ∪ [5; 5] = [-6; -4] ∪ {5}

Ответ: x ∈ [-6; -4] ∪ [5; 6]