Решите систему неравенств: \[\begin{cases} x - 4 \ge 0, \\ x^2 + x - 2 \le 0. \end{cases}\]

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами решим систему неравенств. Давайте приступим к решению. Шаг 1: Решим первое неравенство \[x - 4 \ge 0\] Прибавим 4 к обеим частям неравенства: \[x \ge 4\] Шаг 2: Решим второе неравенство \[x^2 + x - 2 \le 0\] Сначала найдем корни квадратного уравнения (x^2 + x - 2 = 0). Для этого можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. *Теорема Виета:* \[x_1 + x_2 = -1\] \[x_1 \cdot x_2 = -2\] Подбором находим, что (x_1 = 1) и (x_2 = -2). Теперь мы можем записать неравенство в виде: \[(x - 1)(x + 2) \le 0\] Чтобы решить это неравенство, используем метод интервалов. Отметим корни (x = 1) и (x = -2) на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале. *Интервалы:* 1. (x < -2): Например, (x = -3). Тогда ((-3 - 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) = 4 > 0). 2. (-2 < x < 1): Например, (x = 0). Тогда ((0 - 1)(0 + 2) = (-1)(2) = -2 < 0). 3. (x > 1): Например, (x = 2). Тогда ((2 - 1)(2 + 2) = (1)(4) = 4 > 0). Таким образом, решением неравенства является интервал ([-2, 1]). Шаг 3: Найдем пересечение решений Теперь нам нужно найти пересечение решений первого и второго неравенств. Первое неравенство: (x \ge 4) Второе неравенство: [-2 \le x \le 1] Пересечение этих решений пустое, так как нет чисел, которые одновременно больше или равны 4 и находятся в интервале от -2 до 1 включительно. Ответ: \[x \in \varnothing\] Или другими словами: x принадлежит пустому множеству.