Решите систему неравенств: $$\begin{cases} \frac{(x-1)^2 - 1}{1-x} \geq \frac{5}{(2-x)+1} \\ \frac{x}{2} < \frac{2(x-1)^2 + 3}{10} \end{cases}$$ Укажите наибольшее целое значение $$x$$, удовлетворяющее неравенству.

Решим систему неравенств пошагово. Первое неравенство: $$\frac{(x-1)^2 - 1}{1-x} \geq \frac{5}{(2-x)+1}$$ $$\frac{x^2 - 2x + 1 - 1}{1-x} \geq \frac{5}{3-x}$$ $$\frac{x^2 - 2x}{1-x} \geq \frac{5}{3-x}$$ $$\frac{x(x - 2)}{1-x} - \frac{5}{3-x} \geq 0$$ $$\frac{x(x - 2)}{1-x} + \frac{5}{x-3} \geq 0$$ $$\frac{x(x - 2)(x-3) + 5(1-x)}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{x(x^2 - 5x + 6) + 5 - 5x}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{x^3 - 5x^2 + 6x + 5 - 5x}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{x^3 - 5x^2 + x + 5}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{(x+1)(x^2 - 6x + 5)}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{(x+1)(x-1)(x-5)}{(1-x)(x-3)} \geq 0$$ $$\frac{-(x+1)(x-1)(x-5)}{(x-1)(x-3)} \geq 0$$ Сократим на $$(x-1)$$ при условии $$x
eq 1$$: $$\frac{-(x+1)(x-5)}{(x-3)} \geq 0, x
eq 1$$ $$\frac{(x+1)(x-5)}{(x-3)} \leq 0, x
eq 1$$ Метод интервалов: * $$x=-1$$: $$(-1+1)(-1-5)/(-1-3) = 0 \leq 0$$ (подходит) * $$x=5$$: $$(5+1)(5-5)/(5-3) = 0 \leq 0$$ (подходит) * $$x=3$$: знаменатель $$= 0$$, не подходит. * $$x=1$$: выколотая точка, так как сокращали. Интервалы: * $$(-\infty, -1]$$: $$(-2)(-6)/(-4) < 0$$ (подходит) * $$[-1, 1)$$: $$(0)(-6)/(-4) > 0$$ (не подходит) * $$(1, 3)$$: $$(2)(-6)/(-2) > 0$$ (не подходит) * $$(3, 5]$$: $$(4)(-2)/(2) < 0$$ (подходит) * $$[5, +\infty)$$: $$(6)(2)/(2) > 0$$ (не подходит) Решение первого неравенства: $$x \in (-\infty, -1] \cup (3, 5]$$ Второе неравенство: $$\frac{x}{2} < \frac{2(x-1)^2 + 3}{10}$$ Умножим обе части на 10: $$5x < 2(x-1)^2 + 3$$ $$5x < 2(x^2 - 2x + 1) + 3$$ $$5x < 2x^2 - 4x + 2 + 3$$ $$5x < 2x^2 - 4x + 5$$ $$0 < 2x^2 - 9x + 5$$ $$2x^2 - 9x + 5 > 0$$ Найдем корни уравнения $$2x^2 - 9x + 5 = 0$$: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 81 - 40 = 41$$ $$x_1 = \frac{9 - \sqrt{41}}{4} \approx \frac{9 - 6.4}{4} \approx 0.65$$ $$x_2 = \frac{9 + \sqrt{41}}{4} \approx \frac{9 + 6.4}{4} \approx 3.85$$ Решение второго неравенства: $$x < \frac{9 - \sqrt{41}}{4}$$ или $$x > \frac{9 + \sqrt{41}}{4}$$. Решение системы: * Первое неравенство: $$x \in (-\infty, -1] \cup (3, 5]$$ * Второе неравенство: $$x < 0.65$$ или $$x > 3.85$$ Пересечение решений: * $$x \in (-\infty, -1]$$ * $$x \in (3.85, 5]$$ Наибольшее целое значение $$x$$, удовлетворяющее системе неравенств, это 5. Ответ: 5