20. Решите систему уравнений: \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 65 \\ xy = 8\end{cases}\]

Решение: 1. Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \(y = \frac{8}{x}\) 2. Подставим это выражение в первое уравнение: \(x^2 + (\frac{8}{x})^2 = 65\) 3. Упростим уравнение: \(x^2 + \frac{64}{x^2} = 65\) 4. Умножим обе части на \(x^2\): \(x^4 + 64 = 65x^2\) 5. Перенесем все в одну сторону: \(x^4 - 65x^2 + 64 = 0\) 6. Введем замену \(t = x^2\), получим квадратное уравнение: \(t^2 - 65t + 64 = 0\) 7. Решим квадратное уравнение. Корни \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 64\) 8. Вернемся к замене: * Если \(x^2 = 1\), то \(x = \pm 1\). Если \(x = 1\), то \(y = \frac{8}{1} = 8\). Если \(x = -1\), то \(y = \frac{8}{-1} = -8\). * Если \(x^2 = 64\), то \(x = \pm 8\). Если \(x = 8\), то \(y = \frac{8}{8} = 1\). Если \(x = -8\), то \(y = \frac{8}{-8} = -1\). Ответ: \((1, 8), (-1, -8), (8, 1), (-8, -1)\)