2. Решите систему уравнений \( \begin{cases} 3x - y = 1, \\ xy = 10. \end{cases} \)

Краткое пояснение

Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\): \[3x - y = 1 \Rightarrow y = 3x - 1\] Подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение: \[x(3x - 1) = 10\] Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[3x^2 - x = 10 \Rightarrow 3x^2 - x - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\): \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121\] Теперь найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\] Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\): Для \(x_1 = 2\): \[y_1 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5\] Для \(x_2 = -\frac{5}{3}\): \[y_2 = 3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) - 1 = -5 - 1 = -6\] Итак, решения системы уравнений: \[(x_1, y_1) = (2, 5)\] \[(x_2, y_2) = \left(-\frac{5}{3}, -6\right)\]

Ответ: \((2, 5)\) и \(\left(-\frac{5}{3}, -6\right)\)

Проверка за 10 секунд: Подставьте оба решения в исходные уравнения и убедитесь, что они выполняются.

Доп. профит: База: При решении систем уравнений всегда проверяйте найденные решения, чтобы убедиться, что они подходят ко всем уравнениям системы.