Решение системы уравнений

Для решения системы уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{9} - \frac{x+7}{8} + \frac{y}{7} = 0, \\ \frac{x}{9} - \frac{y+9}{8} - \frac{y}{7} = 0. \end{cases}$$

Сначала избавимся от дробей, умножив каждое уравнение на наименьший общий знаменатель (НОЗ) знаменателей, то есть на 9 * 8 * 7 = 504.

Уравнение 1:

$$504\left(\frac{x}{9} - \frac{x+7}{8} + \frac{y}{7}\right) = 0$$ $$56x - 63(x+7) + 72y = 0$$ $$56x - 63x - 441 + 72y = 0$$ $$-7x + 72y = 441$$

Уравнение 2:

$$504\left(\frac{x}{9} - \frac{y+9}{8} - \frac{y}{7}\right) = 0$$ $$56x - 63(y+9) - 72y = 0$$ $$56x - 63y - 567 - 72y = 0$$ $$56x - 135y = 567$$

Теперь у нас есть упрощенная система уравнений:

$$\begin{cases} -7x + 72y = 441, \\ 56x - 135y = 567. \end{cases}$$

Выразим x из первого уравнения:

$$-7x = 441 - 72y$$ $$x = \frac{441 - 72y}{-7}$$ $$x = -63 + \frac{72}{7}y$$

Подставим это выражение для x во второе уравнение:

$$56\left(-63 + \frac{72}{7}y\right) - 135y = 567$$ $$-3528 + \frac{4032}{7}y - 135y = 567$$

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:

$$-24696 + 4032y - 945y = 3969$$ $$3087y = 28665$$ $$y = \frac{28665}{3087} = \frac{9555}{1029} = \frac{3185}{343} = \frac{455}{49} = \frac{65}{7}$$

Теперь подставим значение y обратно в выражение для x:

$$x = -63 + \frac{72}{7} \cdot \frac{65}{7}$$ $$x = -63 + \frac{4680}{49}$$ $$x = \frac{-63 \cdot 49 + 4680}{49}$$ $$x = \frac{-3087 + 4680}{49}$$ $$x = \frac{1593}{49}$$

Таким образом, решение системы уравнений:

$$x = \frac{1593}{49}, \quad y = \frac{65}{7}$$

Ответ: $$x = \frac{1593}{49}, y = \frac{65}{7}$$.