5. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + y = 1, \\ y^2 - y = 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7 \end{cases}$$

Определим задачу: алгебра, решение системы уравнений.

Извлечение данных: даны две системы уравнений.

Аналитическая часть для первой системы:

1. Из второго уравнения найдем y: $$y^2 - y = y(y - 1) = 0$$, следовательно, $$y = 0$$ или $$y = 1$$.
2. Подставим значения y в первое уравнение:
3. Если $$y = 0$$, то $$2x + 0 = 1$$, откуда $$x = \frac{1}{2}$$.
4. Если $$y = 1$$, то $$2x + 1 = 1$$, откуда $$x = 0$$.

Решения первой системы: $$( \frac{1}{2}, 0)$$ и $$(0, 1)$$.

Аналитическая часть для второй системы:

1. Выразим x через y из первого уравнения: $$x = y + 5$$.
2. Подставим это выражение во второе уравнение: $$(y + 5)^2 + 2(y + 5)y - y^2 = -7$$.
3. Раскроем скобки: $$y^2 + 10y + 25 + 2y^2 + 10y - y^2 = -7$$.
4. Упростим уравнение: $$2y^2 + 20y + 32 = 0$$.
5. Разделим на 2: $$y^2 + 10y + 16 = 0$$.
6. Решим квадратное уравнение: $$y = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 16}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 \pm 6}{2}$$.
7. Найдем два корня: $$y_1 = \frac{-10 + 6}{2} = -2$$, $$y_2 = \frac{-10 - 6}{2} = -8$$.
8. Найдем соответствующие значения x: если $$y = -2$$, то $$x = -2 + 5 = 3$$, если $$y = -8$$, то $$x = -8 + 5 = -3$$.

Решения второй системы: $$(3, -2)$$ и $$(-3, -8)$$.

Ответ: Первая система: $$( \frac{1}{2}, 0)$$ и $$(0, 1)$$. Вторая система: $$(3, -2)$$ и $$(-3, -8)$$.