Решите систему уравнений: $$\begin{cases}x = 3y - 10\\y^2=xy=12\end{cases}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x = 3y - 10\\y^2=xy=12\end{cases}$$

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

$$y^2= (3y-10)y = 12$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$y^2 = 3y^2 - 10y - 12$$ $$0 = 2y^2 - 10y - 12$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$0 = y^2 - 5y - 6$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Теперь найдем значения x, подставив значения y в первое уравнение:

Если $$y = 6$$, то $$x = 3(6) - 10 = 18 - 10 = 8$$

Если $$y = -1$$, то $$x = 3(-1) - 10 = -3 - 10 = -13$$

Проверим найденные решения, подставив их во второе уравнение:

Для $$y = 6$$ и $$x = 8$$:

$$y^2=xy$$ $$6^2 = 8 \cdot 6 = 48
eq 12$$

Решение не подходит, так как во втором уравнении должно быть равно 12. Проверим условие $$y^2=12$$. $$y = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$

Для $$y = -1$$ и $$x = -13$$:

$$y^2=xy$$ $$(-1)^2=(-13) \cdot (-1) = 13
eq 12$$

Решение не подходит, так как во втором уравнении должно быть равно 12. Проверим условие $$y^2=12$$. $$y = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$

Поскольку $$y^2 = xy = 12$$, то решим $$y^2=12$$. Отсюда $$y = \pm\sqrt{12}$$.

Тогда $$y = \pm 2\sqrt{3}$$. Подставим значения в первое уравнение:

$$x = 3y - 10$$ $$x = 3(\pm 2\sqrt{3}) - 10$$ $$x = \pm 6\sqrt{3} - 10$$

Тогда у нас два решения:

1. $$y = 2\sqrt{3}, x = 6\sqrt{3} - 10$$
2. $$y = -2\sqrt{3}, x = -6\sqrt{3} - 10$$

Ответ: $$\begin{cases}y_1 = 2\sqrt{3}, x_1 = 6\sqrt{3} - 10\\y_2 = -2\sqrt{3}, x_2 = -6\sqrt{3} - 10\end{cases}$$