Решение системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} (x - 4)(y - 6) = 0, \\ \frac{y-4}{x+y-8} = 2. \end{cases}$$

Из первого уравнения следует, что либо $$x - 4 = 0$$, либо $$y - 6 = 0$$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $$x - 4 = 0$$, то есть $$x = 4$$

Подставим $$x = 4$$ во второе уравнение:

$$\frac{y - 4}{4 + y - 8} = 2$$ $$\frac{y - 4}{y - 4} = 2$$

Если $$y
eq 4$$, то $$\frac{y - 4}{y - 4} = 1$$. Следовательно, $$1 = 2$$, что неверно. Значит, $$y = 4$$ не является решением.

Однако, если $$y = 4$$, то знаменатель обращается в ноль, то есть $$x + y - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$$. Значит, $$y = 4$$ не может быть решением второго уравнения.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $$y - 6 = 0$$, то есть $$y = 6$$

Подставим $$y = 6$$ во второе уравнение:

$$\frac{6 - 4}{x + 6 - 8} = 2$$ $$\frac{2}{x - 2} = 2$$

Умножим обе части на $$x - 2$$ (при условии $$x
eq 2$$):

$$2 = 2(x - 2)$$ $$2 = 2x - 4$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$

Так как $$x = 3
eq 2$$, то это решение подходит.

Решение

Таким образом, единственное решение системы уравнений: $$x = 3$$, $$y = 6$$.

Ответ: $$(3; 6)$$