3. Решите систему уравнений: |x²+y²=25 x+y=7

3. Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x + y = 7. \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения:

$$y = 7 - x$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + (7 - x)^2 = 25$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25$$

Приведем подобные слагаемые:

$$2x^2 - 14x + 49 = 25$$
$$2x^2 - 14x + 24 = 0$$

Разделим уравнение на 2:

$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x₁ = 4:

$$y_1 = 7 - x_1 = 7 - 4 = 3$$

Для x₂ = 3:

$$y_2 = 7 - x_2 = 7 - 3 = 4$$

Таким образом, мы имеем два решения: (4, 3) и (3, 4).

Проверим решение, подставив значения в исходные уравнения:

Для (4, 3):

$$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$
$$4 + 3 = 7$$

Для (3, 4):

$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$
$$3 + 4 = 7$$

Оба решения верны.

Ответ: (4, 3) и (3, 4)