7. Решите систему уравнений: 1 1 1 a) - - = 12' x y 2x - y = 2; x y б) + x x x-y=6

a) Решим систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ 2x - y = 2 \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = 2x - 2$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$\frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{2x - 2 - x}{x(2x - 2)} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{x - 2}{2x^2 - 2x} = \frac{1}{12}$$ $$12(x - 2) = 2x^2 - 2x$$ $$12x - 24 = 2x^2 - 2x$$ $$2x^2 - 14x + 24 = 0$$ $$x^2 - 7x + 12 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$ $$x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = 2 \cdot 4 - 2 = 6$$ $$y_2 = 2 \cdot 3 - 2 = 4$$ б) Решим систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1 \\ x - y = 6 \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из второго уравнения: $$x = y + 6$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$\frac{y + 6}{y} + \frac{y}{y + 6} = 1$$ $$\frac{(y + 6)^2 + y^2}{y(y + 6)} = 1$$ $$(y + 6)^2 + y^2 = y(y + 6)$$ $$y^2 + 12y + 36 + y^2 = y^2 + 6y$$ $$y^2 + 6y + 36 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 36 - 144 = -108$$ Так как дискриминант отрицательный, вещественных решений нет.

Ответ: a) (4, 6), (3, 4); б) нет вещественных решений