5. Решите систему уравнений: a) (x² + y² = 18, (xy = 6; B) x² - 3x - 2y = 4, x²+x-3y = 18.

a) Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 18 \\ xy = 6 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = \frac{6}{x}$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 18$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 18$$ Умножим обе части уравнения на $$x^2$$: $$x^4 + 36 = 18x^2$$ $$x^4 - 18x^2 + 36 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 18t + 36 = 0$$ Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант: $$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 324 - 144 = 180$$ $$t_1 = \frac{18 + \sqrt{180}}{2} = \frac{18 + 6\sqrt{5}}{2} = 9 + 3\sqrt{5}$$ $$t_2 = \frac{18 - \sqrt{180}}{2} = \frac{18 - 6\sqrt{5}}{2} = 9 - 3\sqrt{5}$$ Тогда $$x^2 = 9 + 3\sqrt{5}$$ или $$x^2 = 9 - 3\sqrt{5}$$. $$x_1 = \sqrt{9 + 3\sqrt{5}}, \quad x_2 = -\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}$$ $$x_3 = \sqrt{9 - 3\sqrt{5}}, \quad x_4 = -\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = \frac{6}{\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}}, \quad y_2 = \frac{6}{-\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}}$$ $$y_3 = \frac{6}{\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}}, \quad y_4 = \frac{6}{-\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}}$$ б) Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 - 3x - 2y = 4 \\ x^2 + x - 3y = 18 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$(x^2 + x - 3y) - (x^2 - 3x - 2y) = 18 - 4$$ $$4x - y = 14$$ $$y = 4x - 14$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$x^2 + x - 3(4x - 14) = 18$$ $$x^2 + x - 12x + 42 = 18$$ $$x^2 - 11x + 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$ $$x_1 = \frac{11 + 5}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{11 - 5}{2} = 3$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = 4 \cdot 8 - 14 = 32 - 14 = 18$$ $$y_2 = 4 \cdot 3 - 14 = 12 - 14 = -2$$

Ответ: а) $$(\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}, \frac{6}{\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}}), (-\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}, \frac{6}{-\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}}), (\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}, \frac{6}{\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}}), (-\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}, \frac{6}{-\sqrt{9 - 3\sqrt{5}}})$$; б) (8, 18), (3, -2)