Решите систему уравнений: 1) \(\begin{cases} 7x + 6y = 29 \\ 3x - 5y = 20 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 4x + 5y = 12 \\ 8x + 10y = 22 \end{cases}\)

Решение:

1) \(\begin{cases} 7x + 6y = 29 \\ 3x - 5y = 20 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы привести к методу вычитания:

\( 3 \cdot (7x + 6y) = 3 \cdot 29 \Rightarrow 21x + 18y = 87 \)

\( 7 \cdot (3x - 5y) = 7 \cdot 20 \Rightarrow 21x - 35y = 140 \)

Вычтем второе новое уравнение из первого:

\( (21x + 18y) - (21x - 35y) = 87 - 140 \)

\( 21x + 18y - 21x + 35y = -53 \)

\( 53y = -53 \)

\( y = \frac{-53}{53} \)

\( y = -1 \)

Подставим \( y = -1 \) в первое уравнение:

\( 7x + 6(-1) = 29 \)

\( 7x - 6 = 29 \)

\( 7x = 29 + 6 \)

\( 7x = 35 \)

\( x = \frac{35}{7} \)

\( x = 5 \)

2) \(\begin{cases} 4x + 5y = 12 \\ 8x + 10y = 22 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2:

\( 2 \cdot (4x + 5y) = 2 \cdot 12 \Rightarrow 8x + 10y = 24 \)

Теперь сравним полученное уравнение с вторым уравнением исходной системы:

\( 8x + 10y = 24 \)

\( 8x + 10y = 22 \)

Получили противоречие: \( 24 \neq 22 \). Это означает, что система не имеет решений.

Ответ: 1) \( x = 5, y = -1 \); 2) система не имеет решений.