При каком значении а система уравнений $$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ ax - 6y = -10 \end{cases} $$ имеет бесконечно много решений?

Решение:

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны, то есть:

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]

В нашем случае:

\[ \frac{2}{a} = \frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} \]

Рассмотрим равенство:

\[ \frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} \]

\[ -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

Это условие выполняется.

Теперь приравняем первую и вторую части:

\[ \frac{2}{a} = \frac{3}{-6} \]

\[ \frac{2}{a} = -\frac{1}{2} \]

\[ a = 2 \cdot (-2) \]

\[ a = -4 \]

Ответ: при \( a = -4 \) система имеет бесконечно много решений.