Решите систему уравнений: 2 sin x - 5 cos y = 7, 5 sin x + cos y = 4.

Решение:

Обозначим \( u = \sin x \) и \( v = \cos y \).

Получим систему линейных уравнений:

• \( 2u - 5v = 7 \)
• \( 5u + v = 4 \)

Из второго уравнения выразим \( v \): \( v = 4 - 5u \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

• \( 2u - 5(4 - 5u) = 7 \)
• \( 2u - 20 + 25u = 7 \)
• \( 27u = 27 \)
• \( u = 1 \)

Теперь найдём \( v \):

• \( v = 4 - 5(1) = 4 - 5 = -1 \)

Вернёмся к исходным переменным:

• \( \sin x = 1 \)
• \( \cos y = -1 \)

Решения для \( x \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Решения для \( y \): \( y = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( y = \pi + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.