Решите систему уравнений: 5 sin 2x + 3 cos 3y = 1, 8 sin 2x - 6 cos 3y = 7.

Решение:

Обозначим \( u = \sin 2x \) и \( v = \cos 3y \).

Получим систему линейных уравнений:

• \( 5u + 3v = 1 \)
• \( 8u - 6v = 7 \)

Умножим первое уравнение на 2:

• \( 10u + 6v = 2 \)
• \( 8u - 6v = 7 \)

Сложим два уравнения:

• \( (10u + 8u) + (6v - 6v) = 2 + 7 \)
• \( 18u = 9 \)
• \( u = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)

Подставим \( u = \frac{1}{2} \) в первое уравнение:

• \( 5(\frac{1}{2}) + 3v = 1 \)
• \( \frac{5}{2} + 3v = 1 \)
• \( 3v = 1 - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \)
• \( v = \frac{-3/2}{3} = -\frac{1}{2} \)

Вернёмся к исходным переменным:

• \( \sin 2x = \frac{1}{2} \)
• \( \cos 3y = -\frac{1}{2} \)

Решения для \( 2x \): \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( 2x = \p - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

Отсюда \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Решения для \( 3y \): \( 3y = \p - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( 3y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \).

Отсюда \( y = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \) или \( y = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k \), \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \); \( y = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \), \( y = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( k, n \) — целые числа.