Решите систему уравнений \( \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ x^2 - y^2 - x + y = 0 \end{cases} \) по частям:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим первое уравнение на множители:
   \( x^2 - y^2 = 0 \)
   \( (x-y)(x+y) = 0 \)
   Из этого следует, что \( x-y = 0 \) (т.е. \( x = y \)) ИЛИ \( x+y = 0 \) (т.е. \( x = -y \)).
2. Шаг 2: Подставим \( x^2 - y^2 = 0 \) во второе уравнение.
   Второе уравнение: \( x^2 - y^2 - x + y = 0 \).
   Заменяем \( x^2 - y^2 \) на 0:
   \( 0 - x + y = 0 \)
   \( -x + y = 0 \)
   \( y = x \).
3. Шаг 3: Теперь у нас есть два условия: \( x = y \) (из первого уравнения) и \( y = x \) (из второго уравнения).
4. Шаг 4: Подставим \( y = x \) в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:
   \( x^2 - x^2 = 0 \)
   \( 0 = 0 \). Это означает, что любое \( x \) и \( y \) такие, что \( y = x \), являются решением.
5. Шаг 5: Рассмотрим второй случай из разложения первого уравнения: \( x = -y \).
   Подставим это во второе уравнение:
   \( (-y)^2 - y^2 - (-y) + y = 0 \)
   \( y^2 - y^2 + y + y = 0 \)
   \( 2y = 0 \)
   \( y = 0 \).
   Если \( y = 0 \), то \( x = -y = -0 = 0 \).
6. Шаг 6: Таким образом, мы получили два возможных случая:
   1) \( x = y \). Это означает, что все пары \( (x, y) \) вида \( (a, a) \) являются решениями.
   2) \( x = 0, y = 0 \). Это частный случай первого случая, когда \( a = 0 \).
7. Шаг 7: Проверим решения.
   Если \( x = y \), например, \( x=2, y=2 \):
   \( 2^2 - 2^2 = 4 - 4 = 0 \) (верно)
   \( 2^2 - 2^2 - 2 + 2 = 0 - 0 = 0 \) (верно)
   Если \( x=0, y=0 \):
   \( 0^2 - 0^2 = 0 \) (верно)
   \( 0^2 - 0^2 - 0 + 0 = 0 \) (верно)

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений вида \( x=y \), то есть все точки на прямой \( y=x \). Частным решением является \( (0,0) \).