Решите систему уравнений методом подстановки: 1. $$\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 27 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$$ 2. $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ xy = -2 \end{cases}$$ 3. $$\begin{cases} x^2 + xy - 4y = -2 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}$$

Решение задачи №1: Дана система уравнений: $$\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 27 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$$ Выразим x из второго уравнения: x = 3y + 1 Подставим x в первое уравнение: $$(3y + 1)^2 - (3y + 1)y - 2y^2 = 27$$ Раскроем скобки: $$9y^2 + 6y + 1 - 3y^2 - y - 2y^2 = 27$$ Упростим: $$4y^2 + 5y + 1 = 27$$ $$4y^2 + 5y - 26 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 4 * (-26) = 25 + 416 = 441$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{441}}{2 * 4} = \frac{-5 + 21}{8} = \frac{16}{8} = 2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{441}}{2 * 4} = \frac{-5 - 21}{8} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4}$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = 3y_1 + 1 = 3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7$$ $$x_2 = 3y_2 + 1 = 3 * (-\frac{13}{4}) + 1 = -\frac{39}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{35}{4}$$ Решением системы являются пары чисел: **(7; 2) и (-35/4; -13/4)** Решение задачи №2: Дана система уравнений: $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ xy = -2 \end{cases}$$ Выразим y из второго уравнения: y = -2/x Подставим y в первое уравнение: $$x^2 - (-2/x)^2 = 3$$ $$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 - 4 = 3x^2$$ $$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 3t - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Тогда: $$x^2 = 4$$ или $$x^2 = -1$$ Из $$x^2 = 4$$ следует $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -2$$ Из $$x^2 = -1$$ решений в вещественных числах нет. Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = -2/x_1 = -2/2 = -1$$ $$y_2 = -2/x_2 = -2/(-2) = 1$$ Решением системы являются пары чисел: **(2; -1) и (-2; 1)** Решение задачи №3: Дана система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + xy - 4y = -2 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}$$ Выразим x из второго уравнения: $$2x = 5 - 3y$$ $$x = \frac{5 - 3y}{2}$$ Подставим x в первое уравнение: $$(\frac{5 - 3y}{2})^2 + (\frac{5 - 3y}{2})y - 4y = -2$$ Раскроем скобки: $$\frac{25 - 30y + 9y^2}{4} + \frac{5y - 3y^2}{2} - 4y = -2$$ Умножим на 4: $$25 - 30y + 9y^2 + 2(5y - 3y^2) - 16y = -8$$ $$25 - 30y + 9y^2 + 10y - 6y^2 - 16y = -8$$ Упростим: $$3y^2 - 36y + 25 = -8$$ $$3y^2 - 36y + 33 = 0$$ Разделим на 3: $$y^2 - 12y + 11 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 11 = 144 - 44 = 100$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = \frac{5 - 3y_1}{2} = \frac{5 - 3 * 11}{2} = \frac{5 - 33}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$ $$x_2 = \frac{5 - 3y_2}{2} = \frac{5 - 3 * 1}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Решением системы являются пары чисел: **(-14; 11) и (1; 1)**