3. Решите систему уравнений методом замены переменной: (x + y) = -4, + (x + y) = -3.

Ответ: (-2;-2)

Решим систему уравнений методом замены переменной:

\(\begin{cases} \frac{x}{y} \cdot (x + y) = -4, \\ \frac{x}{y} + (x + y) = -3. \end{cases}\)

Введем замену переменных:

Пусть \(a = \frac{x}{y}\) и \(b = x + y\)

Тогда система уравнений примет вид:

\(\begin{cases} a \cdot b = -4, \\ a + b = -3. \end{cases}\)

Выразим \(a\) через \(b\) из второго уравнения:

\(a = -3 - b\)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\((-3 - b) \cdot b = -4\)

\(-3b - b^2 = -4\)

\(b^2 + 3b - 4 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\)

\(b_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\)

\(b_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\)

Найдем соответствующие значения \(a\):

Если \(b = 1\), то \(a = -3 - 1 = -4\)

Если \(b = -4\), то \(a = -3 - (-4) = 1\)

Теперь вернемся к исходным переменным:

Случай 1: \(a = -4\) и \(b = 1\)

\(\begin{cases} \frac{x}{y} = -4, \\ x + y = 1. \end{cases}\)

Из второго уравнения \(x = 1 - y\)

Подставим в первое уравнение: \(\frac{1 - y}{y} = -4\)

\(1 - y = -4y\)

\(3y = -1\)

\(y = -\frac{1}{3}\)

Тогда \(x = 1 - (-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}\)

Решение (\(\frac{4}{3}\); -\(\frac{1}{3}\))

Случай 2: \(a = 1\) и \(b = -4\)

\(\begin{cases} \frac{x}{y} = 1, \\ x + y = -4. \end{cases}\)

Из первого уравнения \(x = y\)

Подставим во второе уравнение: \(y + y = -4\)

\(2y = -4\)

\(y = -2\)

Тогда \(x = -2\)

Решение (-2;-2)

Ответ: (-2;-2)