706. Решите систему уравнений: 6) {x - 2y² = 2, 3x + y = 7;

Ответ: (2, 1), (8/9, 15/3)

Решение:

Шаг 1: Выразим x из второго уравнения системы:

\[3x + y = 7 \Rightarrow 3x = 7 - y \Rightarrow x = \frac{7 - y}{3}\]

Шаг 2: Подставим выражение для x в первое уравнение:

\[\frac{7 - y}{3} - 2y^2 = 2\]

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[7 - y - 6y^2 = 6\]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[6y^2 + y - 1 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант (D):

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25\]

Вычислим корни уравнения:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\]

Шаг 4: Найдем соответствующие значения x для каждого y:

\[x_1 = \frac{7 - y_1}{3} = \frac{7 - \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{21 - 1}{3}}{3} = \frac{20}{9}\] \[x_2 = \frac{7 - y_2}{3} = \frac{7 - (-\frac{1}{2})}{3} = \frac{\frac{14 + 1}{2}}{3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}\]

Шаг 5: Запишем решения системы уравнений:

\[\begin{cases} x_1 = \frac{20}{9} \\ y_1 = \frac{1}{3} \end{cases}\] \[\begin{cases} x_2 = \frac{5}{2} \\ y_2 = -\frac{1}{2} \end{cases}\]

Ответ: (20/9, 1/3), (5/2, -1/2)