Решение системы уравнений

a)

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 9 \\ x-y = 3 \end{cases} $$

Выразим x через y из второго уравнения:

$$x = y + 3$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(y+3)^2 + y^2 = 9$$ $$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9$$ $$2y^2 + 6y = 0$$ $$2y(y + 3) = 0$$

Отсюда имеем два возможных значения для y:

1. $$y_1 = 0$$ Тогда $$x_1 = y_1 + 3 = 0 + 3 = 3$$
2. $$y_2 = -3$$ Тогда $$x_2 = y_2 + 3 = -3 + 3 = 0$$

Ответ: (3; 0), (0; -3)

б)

$$ \begin{cases} x-y = 4 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Выразим x через y из первого уравнения:

$$x = y + 4$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(y+4)y = 12$$ $$y^2 + 4y = 12$$ $$y^2 + 4y - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$$ $$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$$

Отсюда имеем два возможных значения для y:

1. $$y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Тогда $$x_1 = y_1 + 4 = 2 + 4 = 6$$
2. $$y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Тогда $$x_2 = y_2 + 4 = -6 + 4 = -2$$

Ответ: (6; 2), (-2; -6)

в)

$$ \begin{cases} 2x-y = -1 \\ x+y^2 = 10 \end{cases} $$

Выразим y через x из первого уравнения:

$$y = 2x + 1$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x + (2x+1)^2 = 10$$ $$x + 4x^2 + 4x + 1 = 10$$ $$4x^2 + 5x - 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(4)(-9) = 25 + 144 = 169$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{-5 \pm 13}{8}$$

Отсюда имеем два возможных значения для x:

1. $$x_1 = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ Тогда $$y_1 = 2x_1 + 1 = 2(1) + 1 = 3$$
2. $$x_2 = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$$ Тогда $$y_2 = 2x_2 + 1 = 2(-\frac{9}{4}) + 1 = -\frac{9}{2} + 1 = -\frac{7}{2}$$

Ответ: (1; 3), (-9/4; -7/2)