3. Решите систему уравнений {log 2 x - log 2 y = 3, log 6 (x + 4 y) = 2.

Решение:

Система уравнений:

\[\begin{cases} \log_2 x - \log_2 y = 3, \\ \log_6 (x + 4y) = 2 \end{cases}\]

Из первого уравнения:

\[\log_2 \frac{x}{y} = 3\]

Тогда:

\[\frac{x}{y} = 2^3 = 8\] \[x = 8y\]

Подставим это во второе уравнение:

\[\log_6 (8y + 4y) = 2\] \[\log_6 (12y) = 2\]

По определению логарифма:

\[12y = 6^2 = 36\] \[y = \frac{36}{12} = 3\]

Теперь найдем x:

\[x = 8y = 8(3) = 24\]

Проверим решение. Должно выполняться \(x > 0\) и \(y > 0\), что верно.