587. Решите систему уравнений: 9x² + 9y² = 13, a) 3xy = 2;

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13 \\ 3xy = 2 \end{cases}$$

Выразим из второго уравнения $$xy = \frac{2}{3}$$.

Тогда $$x^2y^2 = \frac{4}{9}$$

Из первого уравнения $$x^2 + y^2 = \frac{13}{9}$$.

Выразим $$x^2 + y^2$$ через $$xy$$:

$$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2xy$$

$$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy$$

Найдем $$2xy = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$.

Тогда $$(x+y)^2 = \frac{13}{9} + \frac{4}{3} = \frac{13 + 12}{9} = \frac{25}{9}$$. Отсюда $$x+y = \pm \frac{5}{3}$$.

А $$(x-y)^2 = \frac{13}{9} - \frac{4}{3} = \frac{13 - 12}{9} = \frac{1}{9}$$. Отсюда $$x-y = \pm \frac{1}{3}$$.

Решим 4 системы уравнений:

1) $$\begin{cases} x+y = \frac{5}{3} \\ x-y = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$2x = \frac{6}{3} = 2$$; $$x = 1$$. Тогда $$y = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$$.

2) $$\begin{cases} x+y = \frac{5}{3} \\ x-y = -\frac{1}{3} \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$2x = \frac{4}{3}$$; $$x = \frac{2}{3}$$. Тогда $$y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$$.

3) $$\begin{cases} x+y = -\frac{5}{3} \\ x-y = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$2x = -\frac{4}{3}$$; $$x = -\frac{2}{3}$$. Тогда $$y = -\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = -1$$.

4) $$\begin{cases} x+y = -\frac{5}{3} \\ x-y = -\frac{1}{3} \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$2x = -\frac{6}{3} = -2$$; $$x = -1$$. Тогда $$y = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{2}{3}$$.

Ответ: (1, 2/3), (2/3, 1), (-2/3, -1), (-1, -2/3)