3. Решите систему: { y = 2x, y = x² − 1. графически (эскиз, найдите точки пересечения).

3. Решим систему графически:

$$ \begin{cases} y = 2x, \\ y = x^2 - 1. \end{cases} $$

График y = 2x - прямая линия, проходящая через начало координат.

График y = x² - 1 - парабола, смещенная на 1 единицу вниз.

Найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения:

$$ 2x = x^2 - 1 $$

$$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$

Корни:

$$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} $$

$$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} $$

Найдем соответствующие значения y:

Для x₁ = 1 + √2:

$$ y_1 = 2 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} $$

Для x₂ = 1 - √2:

$$ y_2 = 2 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 2\sqrt{2} $$

Точки пересечения:

• (1 + √2, 2 + 2√2) ≈ (2.41, 4.83)
• (1 - √2, 2 - 2√2) ≈ (-0.41, -0.83)

Ответ: (1 + √2, 2 + 2√2), (1 - √2, 2 - 2√2)