Решите системы уравнений методом домножения и сложения: a) б)

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами решим две системы уравнений методом домножения и сложения. Этот метод позволяет упростить систему уравнений, чтобы легко найти значения переменных. Давайте приступим! **а) Система уравнений:** \[ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 15x + 3y = 5 \end{cases} \] * **Шаг 1: Домножение первого уравнения на -5** Чтобы избавиться от переменной `x`, мы умножим первое уравнение на -5. Это позволит нам получить коэффициент -15 перед `x`, который при сложении со вторым уравнением (где коэффициент 15) даст ноль. \[ -5(3x + 2y) = -5(8) \Rightarrow -15x - 10y = -40 \] * **Шаг 2: Сложение уравнений** Теперь сложим полученное уравнение с исходным вторым уравнением: \[ \begin{aligned} (-15x - 10y) + (15x + 3y) &= -40 + 5 \\ -7y &= -35 \end{aligned} \] * **Шаг 3: Нахождение значения `y`** Решим полученное уравнение относительно `y`: \[ -7y = -35 \Rightarrow y = \frac{-35}{-7} = 5 \] * **Шаг 4: Подстановка значения `y` в первое уравнение** Подставим найденное значение `y = 5` в первое уравнение исходной системы: \[ 3x + 2(5) = 8 \Rightarrow 3x + 10 = 8 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \] * **Ответ:** \[ x = -\frac{2}{3}, y = 5 \] **б) Система уравнений:** \[ \begin{cases} a^2 + 2b^2 = 6 \\ b^2 - 2a = -3 \end{cases} \] * **Шаг 1: Выражение `b^2` из второго уравнения** Выразим `b^2` из второго уравнения: \[ b^2 = 2a - 3 \] * **Шаг 2: Подстановка выражения `b^2` в первое уравнение** Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ a^2 + 2(2a - 3) = 6 \Rightarrow a^2 + 4a - 6 = 6 \Rightarrow a^2 + 4a - 12 = 0 \] * **Шаг 3: Решение квадратного уравнения** Решим квадратное уравнение относительно `a`: \[ a^2 + 4a - 12 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. Здесь корни: `a_1 = 2` и `a_2 = -6` * **Шаг 4: Нахождение значений `b` для каждого значения `a`** Для `a = 2`: \[ b^2 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \] Для `a = -6`: \[ b^2 = 2(-6) - 3 = -12 - 3 = -15 \] Так как `b^2` не может быть отрицательным, это решение не подходит. * **Ответ:** Для `a = 2`, `b = 1` и `b = -1` \[ (a, b) = (2, 1), (2, -1) \] Итак, мы успешно решили обе системы уравнений. В первом случае использовали метод домножения и сложения, чтобы упростить систему и найти значения `x` и `y`. Во втором случае выразили одну переменную через другую и решили квадратное уравнение. Надеюсь, вам было понятно. Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!