Решение задачи:

Определим количество красных и зелёных пуговиц:

Пусть 2x - это количество зеленых пуговиц, тогда 3x - количество красных пуговиц. Согласно условию задачи, красных пуговиц на 120 больше, чем зелёных. Составим уравнение:

$$3x - 2x = 120$$ $$x = 120$$

Найдём количество зелёных пуговиц:

$$2x = 2 \cdot 120 = 240$$

В коробке 240 зеленых пуговиц.

Найдём количество красных пуговиц:

$$3x = 3 \cdot 120 = 360$$

В коробке 360 красных пуговиц.

Найдём количество синих пуговиц:

Так как, отношение количества красных пуговиц к количеству синих составляет 4 : 1, то количество синих пуговиц в 4 раза меньше количества красных пуговиц.

$$360 : 4 = 90$$

В коробке 90 синих пуговиц.

а) Найдём отношение количества синих, красных и зелёных пуговиц:

$$90:360:240$$

Сократим каждое число на 30:

$$3:12:8$$

б) Найдём сколько всего пуговиц в коробке:

$$360 + 240 + 90 = 690$$

Всего в коробке 690 пуговиц.

Ответ: а) 3:12:8, б) 690.