Решение тригонометрических уравнений

2) $$3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$$

Введем замену $$t = \sin x$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 - 5t - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Вернемся к замене:

1) $$\sin x = 2$$

Так как $$|\sin x| \le 1$$, то уравнение не имеет решений.

2) $$\sin x = -\frac{1}{3}$$

$$x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

4) $$6\cos^2 x + 7\cos x - 3 = 0$$

Введем замену $$t = \cos x$$, тогда уравнение примет вид:

$$6t^2 + 7t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$$ $$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$\cos x = \frac{1}{3}$$

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$\cos x = -\frac{3}{2}$$

Так как $$|\cos x| \le 1$$, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$