Решите тригонометрические уравнения: a) cos t=1; б) 3sin²x - 7sin x + 4 = 0

Решение:

а) \( \cos t = 1 \)

Уравнение \( \cos t = 1 \) имеет решения, когда угол \( t \) равен \( 0 \) радиан плюс полный оборот (\( 2\pi k \)), где \( k \) — любое целое число.

\( t = 2\pi k \), где \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \).

б) \( 3\sin^2x - 7\sin x + 4 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 3y^2 - 7y + 4 = 0 \)

Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-7)^2 - 4 × 3 × 4 = 49 - 48 = 1 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 × 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

\[ y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 × 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \):

1. \( \sin x = \frac{4}{3} \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

2. \( \sin x = 1 \). Решение этого уравнения:

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \).

Ответ: а) \( t = 2\pi k \), \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \); б) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \)