Решите тригонометрическое выражение: $$\frac{\sin 10^\circ \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \sin 20^\circ}{\cos 19^\circ \cos 11^\circ - \sin 19^\circ \sin 11^\circ}$$

Для решения этого тригонометрического выражения, используем формулы сложения для синуса и косинуса: 1. Формула сложения для синуса: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ 2. Формула сложения для косинуса: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Применим эти формулы к нашему выражению: Числитель: $\sin 10^\circ \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \sin 20^\circ = \sin(10^\circ + 20^\circ) = \sin(30^\circ)$ Знаменатель: $\cos 19^\circ \cos 11^\circ - \sin 19^\circ \sin 11^\circ = \cos(19^\circ + 11^\circ) = \cos(30^\circ)$ Теперь у нас есть выражение: $$\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \tan(30^\circ)$$ Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно: $$\tan(30^\circ) = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Таким образом, ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$**