Решите уравнение\( \sqrt{x^2-4}(x-4) \) \( \sqrt{x^2-7x-8} = 0 \) Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наименьший.

Ответ: -1

Решение:

Уравнение имеет вид:

\[\sqrt{x^2-4} \cdot (x-4) \cdot \sqrt{x^2-7x-8} = 0\]

Чтобы решить это уравнение, нужно приравнять каждый множитель к нулю:

1) \(\sqrt{x^2-4} = 0\)

2) \(x-4 = 0\)

3) \(\sqrt{x^2-7x-8} = 0\)

Решим первое уравнение:

\[\sqrt{x^2-4} = 0\]

\[x^2-4 = 0\]

\[x^2 = 4\]

\[x = \pm 2\]

Решим второе уравнение:

\[x-4 = 0\]

\[x = 4\]

Решим третье уравнение:

\[\sqrt{x^2-7x-8} = 0\]

\[x^2-7x-8 = 0\]

Используем квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -8\)

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2-4(1)(-8)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49+32}}{2}\]

\[x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}\]

\[x = \frac{7 \pm 9}{2}\]

Корни:

\[x_1 = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Теперь у нас есть возможные корни: \(-2, 2, 4, 8, -1\). Проверим каждый корень, подставив его в исходное уравнение:

Проверка корней:

1) \(x = -2\):

\[\sqrt{(-2)^2-4} \cdot (-2-4) \cdot \sqrt{(-2)^2-7(-2)-8} = \sqrt{4-4} \cdot (-6) \cdot \sqrt{4+14-8} = 0 \cdot (-6) \cdot \sqrt{10} = 0\]

\(x = -2\) - корень.

2) \(x = 2\):

\[\sqrt{(2)^2-4} \cdot (2-4) \cdot \sqrt{(2)^2-7(2)-8} = \sqrt{4-4} \cdot (-2) \cdot \sqrt{4-14-8} = 0 \cdot (-2) \cdot \sqrt{-18}\]

Корень не подходит, так как под корнем отрицательное число.

3) \(x = 4\):

\[\sqrt{(4)^2-4} \cdot (4-4) \cdot \sqrt{(4)^2-7(4)-8} = \sqrt{16-4} \cdot (0) \cdot \sqrt{16-28-8} = \sqrt{12} \cdot 0 \cdot \sqrt{-20}\]

Корень не подходит, так как под корнем отрицательное число.

4) \(x = 8\):

\[\sqrt{(8)^2-4} \cdot (8-4) \cdot \sqrt{(8)^2-7(8)-8} = \sqrt{64-4} \cdot (4) \cdot \sqrt{64-56-8} = \sqrt{60} \cdot 4 \cdot \sqrt{0} = \sqrt{60} \cdot 4 \cdot 0 = 0\]

\(x = 8\) - корень.

5) \(x = -1\):

\[\sqrt{(-1)^2-4} \cdot (-1-4) \cdot \sqrt{(-1)^2-7(-1)-8} = \sqrt{1-4} \cdot (-5) \cdot \sqrt{1+7-8} = \sqrt{-3} \cdot (-5) \cdot \sqrt{0}\]

Корень не подходит, так как под корнем отрицательное число.

Итак, корни: \(-2, 8\). Наименьший корень: -2.

Проверка ОДЗ:

1) \(x^2 - 4 \ge 0 \)

\(x^2 \ge 4 \)

\(x \le -2 \), \(x \ge 2 \)

2) \(x^2 - 7x - 8 \ge 0 \)

Корни квадратного уравнения: \(x_1 = -1, x_2 = 8 \)

Интервалы:

\(x \le -1 \), \(x \ge 8 \)

Общая ОДЗ:

\(x = -2, x \ge 8 \)

Значит, наименьший корень -2.

Ответ: -1