20. Решите уравнение $$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-42=0$$.

Решим уравнение: $$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - 42 = 0$$

Введём замену $$t = \frac{1}{x}$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + t - 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант равен:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

Корни уравнения:

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Теперь найдём x, используя замену $$t = \frac{1}{x}$$:

1) Если $$t_1 = 6$$, то $$\frac{1}{x} = 6$$, следовательно, $$x_1 = \frac{1}{6}$$.

2) Если $$t_2 = -7$$, то $$\frac{1}{x} = -7$$, следовательно, $$x_2 = -\frac{1}{7}$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{6}$$, $$x_2 = -\frac{1}{7}$$