7.13. Решите уравнение \( \frac{x}{x+4} + \frac{x+2}{4} = \frac{32}{x^2-16} \)

Решаем уравнение:

Пошаговое решение:

1. Определим ОДЗ (область допустимых значений): \( x
   eq \pm 4 \), так как знаменатели не могут быть равны нулю.
2. Перепишем уравнение, разложив знаменатель правой части:
3. \( \frac{x}{x+4} + \frac{x+2}{4} = \frac{32}{(x+4)(x-4)} \)
4. Приведём к общему знаменателю \( 4(x+4)(x-4) \):
5. \( \frac{4x(x-4)}{4(x+4)(x-4)} + \frac{(x+2)(x+4)(x-4)}{4(x+4)(x-4)} = \frac{32 \cdot 4}{4(x+4)(x-4)} \)
6. Упростим числители:
7. \( 4x(x-4) + (x+2)(x^2-16) = 128 \)
8. Раскроем скобки:
9. \( 4x^2 - 16x + x^3 - 16x + 2x^2 - 32 = 128 \)
10. Приведём подобные члены:
11. \( x^3 + 6x^2 - 32x - 160 = 0 \)
12. Выглядит сложно. Попробуем разложить на множители. Попробуем \( x = -4 \) (хотя \( x
    eq -4 \) из-за ОДЗ). Проверим:
13. \( (-4)^3 + 6(-4)^2 - 32(-4) - 160 = -64 + 96 + 128 - 160 = 0 \). Значит, \( (x+4) \) является множителем.
14. Разделим \( x^3 + 6x^2 - 32x - 160 \) на \( (x+4) \):
15. Получается \( (x+4)(x^2 + 2x - 40) = 0 \)
16. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 40 = 0 \):
17. \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-40)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 160}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{41}}{2} = -1 \pm \sqrt{41} \)
18. Таким образом, у нас три значения для x: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = -1 + \sqrt{41} \), и \( x_3 = -1 - \sqrt{41} \).
19. Проверим ОДЗ: \( x
    eq \pm 4 \). Таким образом, \( x_1 = -4 \) не является решением.

Ответ: \( x = -1 + \sqrt{41} \) и \( x = -1 - \sqrt{41} \)