7.12. Решите уравнение \( \frac{x}{x+2} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{8}{x^2-4} \)

Решаем уравнение:

Пошаговое решение:

1. Определим ОДЗ (область допустимых значений): \( x
   eq \pm 2 \), так как знаменатели не могут быть равны нулю.
2. Приведем все дроби к общему знаменателю \( (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \):
3. \( \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+3)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x^2-4} \)
4. Упростим числители:
5. \( \frac{x^2-2x}{x^2-4} + \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4} \)
6. Сложим дроби:
7. \( \frac{x^2-2x + x^2+5x+6}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4} \)
8. \( \frac{2x^2+3x+6}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4} \)
9. Умножим обе части уравнения на \( x^2-4 \) (помня, что \( x
   eq \pm 2 \)):
10. \( 2x^2+3x+6 = 8 \)
11. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
12. \( 2x^2+3x-2 = 0 \)
13. Решим квадратное уравнение \( 2x^2+3x-2 = 0 \):
14. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = 3 \), и \( c = -2 \).
15. Подставим значения: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \)
16. Таким образом, у нас два значения для x: \( x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \).
17. Проверим ОДЗ: \( x
    eq \pm 2 \), поэтому \( x_2 = -2 \) не является решением.
18. Итак, решение: \( x = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \)