1. Решите уравнение 2 \frac{5}{9} : x = 1 \frac{2}{21} : 2 \frac{1}{27}.

Решим уравнение:

$$2 \frac{5}{9} : x = 1 \frac{2}{21} : 2 \frac{1}{27}$$

1. Представим смешанные дроби в виде неправильных дробей:

   $$\frac{23}{9} : x = \frac{23}{21} : \frac{55}{27}$$

2. Выразим неизвестный делитель x, для этого разделим делимое на частное:

   $$x = \frac{23}{9} : (\frac{23}{21} : \frac{55}{27})$$

3. Выполним деление в скобках, для этого деление заменим умножением, а делитель перевернем:

   $$x = \frac{23}{9} : (\frac{23}{21} \times \frac{27}{55})$$

4. Сократим дробь в скобках:

   $$x = \frac{23}{9} : (\frac{23}{7} \times \frac{9}{55})$$

5. Перемножим дроби в скобках:

   $$x = \frac{23}{9} : \frac{207}{385}$$

6. Выполним деление, для этого деление заменим умножением, а делитель перевернем:

   $$x = \frac{23}{9} \times \frac{385}{207}$$

7. Сократим дробь:

   $$x = \frac{1}{9} \times \frac{385}{9}$$

8. Перемножим дроби:

   $$x = \frac{385}{81}$$

9. Выделим целую часть:

   $$x = 4 \frac{61}{81}$$

Ответ: $$x = 4 \frac{61}{81}$$