Решите уравнение: $$2\sin^2(x)\cos(x) + \sqrt{3}\cos^2(x) = \sqrt{3}$$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Решим данное тригонометрическое уравнение. 1. Преобразуем уравнение: Начнем с преобразования уравнения, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$$. Подставим это в уравнение: $$2(1 - cos^2(x))cos(x) + \sqrt{3}cos^2(x) = \sqrt{3}$$ $$2cos(x) - 2cos^3(x) + \sqrt{3}cos^2(x) = \sqrt{3}$$ $$2cos(x) - 2cos^3(x) + \sqrt{3}cos^2(x) - \sqrt{3} = 0$$ 2. Сгруппируем и разложим на множители: Сгруппируем члены и вынесем общие множители: $$-2cos^3(x) + \sqrt{3}cos^2(x) + 2cos(x) - \sqrt{3} = 0$$ $$(\sqrt{3}cos^2(x) - \sqrt{3}) + (2cos(x) - 2cos^3(x)) = 0$$ $$\sqrt{3}(cos^2(x) - 1) - 2cos(x)(cos^2(x) - 1) = 0$$ $$(cos^2(x) - 1)(\sqrt{3} - 2cos(x)) = 0$$ 3. Решим каждое уравнение: Теперь у нас есть два уравнения: a) $$cos^2(x) - 1 = 0$$ $$cos^2(x) = 1$$ $$cos(x) = \pm 1$$ * $$cos(x) = 1$$ => $$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ * $$cos(x) = -1$$ => $$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ b) $$\sqrt{3} - 2cos(x) = 0$$ $$2cos(x) = \sqrt{3}$$ $$cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ * $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$$ 4. Объединим решения: Общее решение уравнения: * $$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ * $$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ * $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$$ * $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l, l \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = 2\pi n, \pi + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi m, -\frac{\pi}{6} + 2\pi l$$, где $$n, k, m, l \in \mathbb{Z}$$.