Решите уравнение \((x-2)^4 + 3(x-2)^2 - 10 = 0\)

Решение:

Обозначим \(y = (x-2)^2\), тогда уравнение преобразуется в квадратное относительно \(y\):

\[y^2 + 3y - 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение по формуле:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\], где \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -10\).

\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}\]
\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}\]
\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2}\]
\[y = \frac{-3 \pm 7}{2}\]

Получаем два корня:
\[y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\]
\[y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\]

Так как \(y = (x-2)^2 \geq 0\), то \(y_2 = -5\) не подходит.

Теперь вернемся к \(y = 2\):

\[(x-2)^2 = 2\]

Найдём \(x\):

\[x - 2 = \pm \sqrt{2}\]
\[x = 2 \pm \sqrt{2}\]

Ответ: \(x_1 = 2 + \sqrt{2}\), \(x_2 = 2 - \sqrt{2}\).