Решите уравнение $$|x^2 + 3x - 5| = 2x + 1$$.

Рассмотрим два случая:

1) $$x^2 + 3x - 5 = 2x + 1$$

$$x^2 + 3x - 5 - 2x - 1 = 0$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -1$$

$$x_1 cdot x_2 = -6$$

$$x_1 = -3, x_2 = 2$$

Проверим:

Если $$x = -3$$, то $$|(-3)^2 + 3(-3) - 5| = |9 - 9 - 5| = |-5| = 5$$, а $$2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5$$. Значит, $$x = -3$$ не является решением.

Если $$x = 2$$, то $$|(2)^2 + 3(2) - 5| = |4 + 6 - 5| = |5| = 5$$, а $$2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$$. Значит, $$x = 2$$ является решением.

2) $$x^2 + 3x - 5 = -(2x + 1)$$

$$x^2 + 3x - 5 = -2x - 1$$

$$x^2 + 3x - 5 + 2x + 1 = 0$$

$$x^2 + 5x - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 25 + 16 = 41$$

$$x_{3,4} = rac{-b pm sqrt{D}}{2a} = rac{-5 pm sqrt{41}}{2}$$

Проверим:

Так как модуль всегда неотрицателен, то $$2x+1 geq 0$$, следовательно, $$x geq -rac{1}{2}$$.

$$x_3 = rac{-5 - sqrt{41}}{2} < 0$$, значит, не подходит.

$$x_4 = rac{-5 + sqrt{41}}{2} approx rac{-5 + 6.4}{2} = rac{1.4}{2} = 0.7 > -rac{1}{2}$$, значит, подходит.

Ответ: $$x = 2$$ и $$x = rac{-5 + sqrt{41}}{2}$$