3. Решите уравнение 1 + √2x² - 3х – 5 = х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: 3

Разбираемся:

• Преобразуем уравнение:

\[\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = x - 1\]

• Возведем обе части в квадрат:

\[2x^2 - 3x - 5 = (x - 1)^2\]

\[2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 2x + 1\]

• Приведем подобные слагаемые:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

• Решим квадратное уравнение.

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 1\]

\[x_1 \cdot x_2 = -6\]

\[x_1 = 3, x_2 = -2\]

• Проверим корни, подставив в исходное уравнение:

Для x = 3:

\[1 + \sqrt{2(3)^2 - 3(3) - 5} = 3\]

\[1 + \sqrt{18 - 9 - 5} = 3\]

\[1 + \sqrt{4} = 3\]

\[1 + 2 = 3\]

\[3 = 3\]

Для x = -2:

\[1 + \sqrt{2(-2)^2 - 3(-2) - 5} = -2\]

\[1 + \sqrt{8 + 6 - 5} = -2\]

\[1 + \sqrt{9} = -2\]

\[1 + 3 = -2\]

\[4 = -2\]

x = -2 - посторонний корень.

x = 3 - корень.

Уравнение имеет только один корень: x = 3.

Ответ: 3